"Пожалуйста" (как просьба)
Онэгай симасу (Onegai shimasu) - Весьма вежливая форма. Может использоваться самостоятельно. Особенно часто используется в просьбах типа "сделайте нечто для меня". Напоминаю, что в большинстве случаев "у" после глухих согласных не произносится, то есть, данное выражение обычно произносится как "Онэгай симас".
Онэгай (Onegai) - Менее вежливая, более часто встречающаяся форма.
- кудасай (kudasai) - Вежливая форма. Добавляется как суффикс к глаголу. Например, "китэ-кудасай" - "Пожалуйста, приходите".
- кудасаймасэн ка? (kudasaimasen ka) - Более вежливая форма. Добавляется как суффикс к глаголу. Переводится как "не могли бы вы сделать нечто для меня?". Например, "китэ-кудасаймасэн ка?" - "Не могли бы вы придти?".

"Спасибо"
Домо (Doumo) - Краткая форма, обычно говорится в ответ на небольшую "бытовую" помощь, скажем, в ответ на поданное пальто и на предложение войти.
Аригато годзаймасу (Arigatou gozaimasu) - Вежливая, несколько формальная форма. Напоминаю, что в большинстве случаев "у" после глухих согласных не произносится, то есть, данное выражение обычно произносится как "Аригато годзаймас".
Аригато (Arigatou) - Менее формальная вежливая форма.
Домо аригато (Doumo arigatou) - "Большое спасибо". Вежливая форма.
Домо аригато годзаймасу (Doumo arigatou gozaimasu) - "Огромное вам спасибо". Очень вежливая, формальная форма.
Катадзикэнай (Katajikenai) - Старомодная, очень вежливая форма.
Осэва ни наримасита (Osewa ni narimashita) - "Я - ваш должник". Очень вежливая и формальная форма.
Осэва ни натта (Osewa ni natta) - Неформальная форма с тем же значением.

"Пожалуйста" (ответ на благодарность)
До итасимаситэ (Dou itashimashite) - Вежливая, формальная форма.
Иэ (Iie) - "Не за что". Неформальная форма.

"Простите"
Гомэн насай (Gomen nasai) - "Извините, пожалуйста", "Прошу прощения", "Мне очень жаль". Весьма вежливая форма. Выражает сожаление по некоторому поводу, скажем, если приходится кого-то потревожить. Обычно не является собственно извинением за существенный проступок (в отличие от "сумимасэн").
Гомэн (Gomen) - Неформальная форма.
Сумимасэн (Sumimasen) - "Прошу прощения". Вежливая форма. Выражает извинение, связанное с совершением существенного проступка.
Суманай/Суман (Sumanai/Suman) - Не очень вежливая, обычно мужская форма.
Суману (Sumanu) - Не очень вежливая, старомодная форма.
Сицурэй симасу (Shitsurei shimasu) - "Прошу прощения". Очень вежливая формальная форма. Используется, скажем, чтобы войти в кабинет начальника.
Сицурэй (Shitsurei) - Аналогично, но менее формальная форма
Мосивакэ аримасэн (Moushiwake arimasen) - "Мне нет прощения". Очень вежливая и формальная форма. Используется в армии или бизнесе.
Мосивакэ най (Moushiwake nai) - Менее формальный вариант.

Прочие выражения
Додзо (Douzo) - "Прошу". Краткая форма, предложение войти, взять пальто и так далее. Обычный ответ - "Домо".
Тётто... (Chotto) - "Не стоит беспокоиться". Вежливая форма отказа. Например, если вам предлагают выпить чаю.